对角线法则
全排列：$n$个不同元素的全排列有$n!$个
逆序数：
- 标准次序：全排列中的一个，相当于默认排序
- 元素的逆序数：在该元素前面与其不合标准次序关系的元素个数(仅考虑前后关系，不考虑间隔元素个数)
- 所有元素的逆序数之和即为该排列的逆序数
- 逆序数为偶，排列为偶排列；逆序数为奇，排列为奇排列
- 注：当然也可以用该元素后与其不合标准次序的元素个数来计算排列的逆序数
- 例：$12345$是这$5$个元素的标准次序(从小到大)
- 对于$31254$：$3$前面比$3$大的$0$个，$1$前面$1$个，$2$前面$1$个，$5$前面$0$个，$4$前面$1$个，该排列的逆序数为$0+1+1+0+1=3$，为奇排列
- 从后面计数：$3$后比$3$小的$2$个，$1$后$0$个，$2$后$0$个，$5$后$1$个，$4$后$0$个，合计$ 2+0+0+1+0=3 $，为奇排列
$n$阶行列式：
$D = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$
若将每一项都看成$ a_{1p_1}a_{1p_2}a_{1p_3} $的形式，$ p_1p_2p_3 $看成默认次序为$ 123 $排列，会发现：正数项全是偶排列，负数项全是奇排列
每一项可以表示为：$ (-1)^ia_{1p_1}a_{1p_2}a_{1p_3} $
$n$阶行列式还可以定义为：
$D=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}…a_{np_n}$
$t$为列标排列$p_1p_2…p_n$的逆序数
对角行列式：除了主对角线上的元素，其它都是$0$
上(下)三角形行列式：主对角线以上(下)的元素都是$0$
对角行列式、三角形行列式的值都是主对角线元素的乘积
对换与排列的奇偶性
定理1：一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性
$a_m$与$a_n（m<n）$交换，$a_m$经过$n-m$次相邻对换到$a_n$的右边，$a_n$经过$n-m-1$次相邻对换(相邻两个元素交换位置)到原来$a_m$的位置，每次相邻对换排列的逆序数$±1$，则一共操作$2n-2m-1$次，奇偶性改变
定理2：$n$阶行列式还可以定义为：
$D=\sum(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}…a_{p_nn}$
行列式中的每一项$(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}…a_{np_n}$都可以对换成$s$唯一确定的$(-1)^sa_{p_11}a_{p_22}…a_{p_nn}$
疑问：$s = t ?$
行列式的性质
- 性质1：行列式转置后值不变
- 性质2：行列式互换两行/列其值变号
- 性质3：有两行/列完全相同(或对应成比例)的行列式值等于零
- 性质4：对行列式的一行/列数乘$k$行列式的值也数乘$k$
- 性质5：行列式的某一行/列可以拆分，行列式整体伴随拆分，值为拆分后的行列式之和
- 性质6：将行列式某一行/列数乘$k$再加到另一行/列，行列式值不变
- $r_i$：行列式的第$i$行
- $c_i$：行列式的第$i$列
- $r_i←→r_j$：交换两行
- $c_i←→c_j$：交换两列
- $r_i*k$：第$i$行数乘$k$
- $r_i+kr_j$：第$i$行加第$j$行数乘$k$，常用于消元，将元素化为$0$
- $P_{12}$~例8：很骚~
- $P_{14}$~例10：更骚~
行列式按行/列展开
在$n$阶行列式中，将$a_{ij}$所在的第$i$行和第$j$列划去后，留下的$n-1$阶行列式$a_{ij}$元素的余子式，记作：$M_{ij}$
$a_{ij}$的代数余子式：$A_{ij}$
$$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$$
引理：若$n$阶行列式第$i$行除了$a_{ij}$外都是零，那么这个行列式等于$a_{ij}$与它的代数余子式的乘积：$$D=a_{ij}A_{ij}$$
实际上，将第$i$行交换到第$1$行，然后将第$j$列交换到第$1$列，就会出现类似于$P_{14}$~例10的情形，自然可以得到：$$D=a_{ij}M_{ij}$$
又因为交换了$i+j-2$次，所以需要乘以$(-1)^{i+j-2}$，忽略$-2$，即：$$D=a_{ij}(-1)^{i+j-2}M_{ij}=a_{ij}A_{ij}$$
定理3：行列式等于它的任一行/列的各元素与其对应代数余子式乘积之和，即：$$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+…+a_{in}A_{in}$$
范德蒙德($Vandermonde$)行列式：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & … & 1 \\
x_1 & x_2 & … & x_n \\
x_1^2 & x_2^2 & … & x_n ^2\\
… \\
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & … & x_n ^{n-1}\\
\end{vmatrix}=\prod_{n\ge i\gt j \ge 1}(x_i-x_j)
$$
用数学归纳法证明，详见：$P_{18}$基本思想：把第一列全部化为$0$，然后通过行列式展开消去
推论：行列式某一行/列各元素与另一行/列对应位置元素的代数余子式乘积之和等于零，即：
$$a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+…+a_{in}A_{jn}=0（i\ne j）$$
证明思路：偷梁换柱
定理3和推论可以表示为(行展开)：
$$
\sum_{k=1}^na_{ki}A_{kj}=Dδ_{ij}=
\left \{
\begin{aligned}
D, i=j \\
0, i \ne j
\end{aligned}
\right.
$$
换成列展开亦然
克拉默法则
克拉默法则：
对$n$元线性方程组
$$
\left\{
\begin{aligned}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+…+a_{1n}x_n=b_1,\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+…+a_{2n}x_n=b_2,\\
…\\
a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+…+a_{nn}x_n=b_n,\\
\end{aligned}
\right.
$$
所有系数按排列构成系数行列式
$$
D=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\
…\\
a_{n1} & a_{n2} & … & a_{nn} \\
\end{vmatrix}
$$
若$ D\ne 0 $，该方程组有唯一解：
$$
x_1=\frac {D_1}D, x_1=\frac {D_2}D, …, x_n=\frac {D_n}D
$$